bzoj 3996 线性代数

Posted on | Views:

最小割.

考虑如果把 $A_{1,i}$ 置为 $1$ ,就把 $A\times B-C$ 加上了 $B_{i}$ 这个行向量.

最后的 $D=(A \times B-C) \times A^{T}$ ,所以最后只算那些 $A_{1,i}=1$ 的 $(A\times B-C)_{1,i}$ .

设 $S=\lbrace i | A_{1,i}=1 \rbrace $ ,则 $D=\sum_{i\in S}\sum_{j\in S} B_{i,j}-\sum_{i\in S} C_{1,i}$ .

意义是,若两个位置 $i,j$ 同时被选,会带来 $B_{i,j}$ 的收益,若 $i$ 被选,需要付出 $C_{1,i}$ 的代价.

这显然已经是最小割经典问题了.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
//%std
#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const int MAXN=(500*500+500)*4+10;
const int inf=1e9;
int n,ans=0,tot,B[512][512],C[512];
struct Edge
{
	int to,nx,flow;
}E[MAXN];
int ecnt=1,head[MAXN],cur[MAXN];
void addedge(int u,int v,int flow)
{
	E[++ecnt]=(Edge){v,head[u],flow};
	head[u]=ecnt;
}
void ins(int u,int v,int flow)
{
	addedge(u,v,flow);
	addedge(v,u,0);
}
int dep[MAXN];
queue<int> q;
bool bfs(int S,int T)
{
	for(int i=1;i<=tot;++i)
		dep[i]=-1,cur[i]=head[i];
	dep[S]=0;
	q.push(S);
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[u];i;i=E[i].nx)
		{
			int v=E[i].to;
			if(dep[v]==-1 && E[i].flow>0)
			{
				dep[v]=dep[u]+1;
				q.push(v);
			}
		}
	}
	return dep[T]!=-1;
}
int dfs(int u,int T,int limit)
{
	if(u==T || !limit)
		return limit;
	int flow=0,f;
	for(int &i=cur[u];i;i=E[i].nx)
	{
		int v=E[i].to;
		if(dep[v]==dep[u]+1 && E[i].flow>0 && (f=dfs(v,T,min(limit,E[i].flow))))
		{
			flow+=f;
			limit-=f;
			E[i].flow-=f;
			E[i^1].flow+=f;
		}
		if(!limit)
			return flow;
	}
	return flow;
}
int Dinic(int S,int T)
{
	int maxflow=0;
	while(bfs(S,T))
		maxflow+=dfs(S,T,inf);
	return maxflow;
}
int main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j)
			ans+=(B[i][j]=read());
	for(int i=1;i<=n;++i)
		C[i]=read();
	tot=n;
	int S=++tot,T=++tot;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		ins(i,T,C[i]);
		int x=++tot;
		ins(S,x,B[i][i]);
		ins(x,i,inf);
		for(int j=1;j<i;++j)
		{
			int x=++tot;
			ins(S,x,B[i][j]+B[j][i]);
			ins(x,i,inf);
			ins(x,j,inf);
		}
	}
	ans-=Dinic(S,T);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}