Loj 3090 勘破神机

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特征方程求解数列通项.

先考虑 $m=2$ 的做法,设 $f(i)$ 表示用 $1\times 2$ 的骨牌填满 $2\times i$ 的网格的方案数.

显然有 $f(0)=f(1)=1,f(i)=f(i-1)+f(i-2)$ .

利用特征方程可以求出 $f(i)=c_1x^i+c_2y^i$ .

推一下式子,
$$
\begin{aligned}
(r-l+1)\cdot ans_2&=\sum_{i=l}^r F(i,k) \\
&=\sum_{i=l}^r \binom{f(i)}{k} \\
&=\sum_{i=l}^r \frac{1}{k!}\cdot f(i)^{\underline k}
\end{aligned}
$$
把 $x^{\underline k}$ 暴力展开成 $\sum a_i\cdot x^i$ ,代回上式,
$$
\begin{aligned}
(r-l+1)\cdot ans_2&=\sum_{n=l}^r \frac{1}{k!} \sum_{j=0}^k a_j\cdot f(i)^j \\
&=\sum_{j=0}^k \frac{a_j}{k!} \sum_{i=l}^r (c_1x^i+c_2y_i)^j \\
&=\sum_{j=0}^k \frac{a_j}{k!}\sum_{p=0}^j \cdot \binom{j}{p} \cdot c_1^pc_2^{j-p} \sum_{i=l}^r (x^p y^{j-p})^i
\end{aligned}
$$
枚举 $j,p$ 的值,最后面的那一项用等比数列求和公式计算,时间复杂度 $O(k^2\cdot \log r)$ .

当 $m=3$ 时,设 $g(n)$ 表示填满 $2\times (2n)$ 的方案数,有 $g(0)=1,g(1)=3,g(i)=4g(i-1)-g(i-2)$ .

算出此时的 $c_1,x,c_2,y$ ,其余做法和 $m=2$ 的相同.

由于解出来的 $c$ 分别含有 $\sqrt 5,\sqrt 3$ ,而 $5,3$ 在模 $998244353$ 下都不是二次剩余,所以要自己定义一个数域.

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//%std
#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
	ll out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const int P=998244353;
int add(int a,int b)
{
	return (a+b>=P)?(a+b-P):(a+b);
}
void inc(int &a,int b)
{
	a=add(a,b);
}
int mul(int a,int b)
{
	return 1LL * a * b % P;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			res=mul(res,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return res;
}
const int K=1<<9;
int binom[K][K],w;
struct cp
{
	int r,i;
	cp(int r=0,int i=0):r(r),i(i) {}
	cp operator + (const cp &rhs) const
	{
		return cp(add(r,rhs.r),add(i,rhs.i));
	}
	cp operator - (const cp &rhs) const
	{
		return cp(add(r,P-rhs.r),add(i,P-rhs.i));
	}
	cp operator * (const cp &rhs) const
	{
		return cp(add(mul(r,rhs.r),mul(w,mul(i,rhs.i))),add(mul(r,rhs.i),mul(i,rhs.r)));
	}
	cp operator ^ (const ll &k) const
	{
		ll b=k;
		cp a=*this,res=cp(1,0);
		while(b)
		{
			if(b&1LL)
				res=res*a;
			a=a*a;
			b>>=1;
		}
		return res;
	}
	cp inv() const
	{
		int t=fpow(add(mul(r,r),P-mul(w,mul(i,i))),P-2);
		return cp(mul(r,t),mul(P-i,t));
	}
	cp operator / (const cp &rhs) const
	{
		return (*this)*(rhs.inv());
	}
};
cp c1,x,c2,y;
void init(int m)
{
	int inv2=fpow(2,P-2),inv10=fpow(10,P-2),inv6=fpow(6,P-2);
	for(int i=0;i<=501;++i)
		binom[i][0]=1;
	for(int i=1;i<=501;++i)
		for(int j=1;j<=i;++j)
			binom[i][j]=add(binom[i-1][j],binom[i-1][j-1]);
	if(m==2)
	{
		w=5;
		x=cp(inv2,inv2);
		c1=cp(inv2,inv10);
		y=cp(inv2,P-inv2);
		c2=cp(inv2,P-inv10);
	}
	else
	{
		w=3;
		x=cp(2,1);
		c1=cp(inv2,inv6);
		y=cp(2,P-1);
		c2=cp(inv2,P-inv6);
	}
}
int a[K],b[K];
int solve(ll L,ll R,int k)
{
	a[0]=1;
	for(int i=1;i<=k;++i)
		a[i]=0;
	for(int i=0;i<k;++i) // *(x-i)
	{
		for(int j=0;j<=i;++j)
			b[j+1]=a[j];
		b[0]=0;
		for(int j=0;j<=i;++j)
			inc(b[j],mul(a[j],P-i));
		for(int j=0;j<=i+1;++j)
			a[j]=b[j];
	}
	int invfac=1;
	for(int i=2;i<=k;++i)
		invfac=mul(invfac,i);
	invfac=fpow(invfac,P-2);
	cp res=cp(0,0);
	for(int j=0;j<=k;++j)
		for(int p=0;p<=j;++p)
		{
			int t=mul(mul(a[j],binom[j][p]),invfac);
			cp tmp=cp(t,0)*(c1^p)*(c2^(j-p));
			cp q=(x^p)*(y^(j-p));
			if(q.r==1 && q.i==0)
				tmp=tmp*cp((R-L)%P,0);
			else
			{
				cp pw=(cp(1,0)-(q^(R+1)))/(cp(1,0)-q);
				pw=pw-(cp(1,0)-(q^(L+1)))/(cp(1,0)-q);
				tmp=tmp*pw;
			}	
			res=res+tmp;
		}
	return res.r;
}
int main()
{
	int T=read(),m=read();
	init(m);
	while(T--)
	{
		ll L=read(),R=read();
		int k=read(),ans=fpow((R-L+1)%P,P-2);
		if(m==2)
			ans=mul(ans,solve(L-1,R,k));
		else
			ans=mul(ans,solve((L-1)>>1,R>>1,k));
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}