Loj 6712 数树上块

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长链剖分.

算法一

使用大力枚举,状态压缩等指数级别复杂度算法,期望得分 $10$ 分.

算法二

设 $f(i,j)$ 表示在子树 $i$ 中选出一个联通块,必须包含 $i$ ,并且这个联通块中最深的点到 $i$ 的距离为 $j$ 的方案数.

在树上 $dfs$ ,不断将当前节点 $u$ 的信息与它的儿子节点 $v$ 的信息合并.
$$
f(u,\max(i,j+1))+=f(u,i)\cdot f(v,j),i+j+1\le k
$$
枚举深度 $i,j$ 时只需要枚举有用的,时间复杂度 $O(n^2)$ ,期望得分 $50$ 分.

算法三

对于 $k=n-1$ 的部分,相当于没有联通块直径的限制,可以在算法二的基础上去掉第二维.

即设 $f(i)$ 表示在子树 $i$ 中选出一个联通块,且必须包含 $i$ 的方案数.

时间复杂度 $O(n)$ ,结合算法二,期望得分 $60$ 分.

算法四

注意到算法二的 $dp$ 第二维的下标是深度,可以利用长链剖分进行优化.

为了快速转移,需要给每个节点 $i$ 开一棵线段树维护所有的 $f(i,j)$ ,可以使用动态开点实现.

时间复杂度 $O(n\log n)$ ,期望得分 $100$ 分.

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//%std
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const int P=998244353;
int add(int a,int b)
{
	return (a+b>=P)?(a+b-P):(a+b);
}
int mul(int a,int b)
{
	return 1LL * a * b % P;
}
const int MAXN=5e5+10;
int n,k;
int ecnt=0,to[MAXN<<1],nx[MAXN<<1],head[MAXN];
void addedge(int u,int v)
{
	++ecnt;
	to[ecnt]=v;
	nx[ecnt]=head[u];
	head[u]=ecnt;
}
int mxdep[MAXN],mxson[MAXN];
void dfs_init(int u,int fa)
{
	for(int i=head[u]; i; i=nx[i])
	{
		int v=to[i];
		if(v==fa)
			continue;
		dfs_init(v,u);
		if(mxson[u]==0 || mxdep[v]>mxdep[mxson[u]])
			mxson[u]=v;
	}
	if(mxson[u])
		mxdep[u]=mxdep[mxson[u]]+1;
}
int cnt=0;
struct node
{
	int ls,rs,sum,tag;
	node()
	{
		ls=rs=sum=0;
		tag=1;
	}
} Tree[MAXN*30];
#define root Tree[o]
#define lson Tree[root.ls]
#define rson Tree[root.rs]
void pushup(int o)
{
	root.sum=add(lson.sum,rson.sum);
}
void modify(int &o,int c)
{
	if(!o)
		o=++cnt;
	root.tag=mul(root.tag,c);
	root.sum=mul(root.sum,c);
}
void pushdown(int o)
{
	if(root.tag!=1)
	{
		modify(root.ls,root.tag);
		modify(root.rs,root.tag);
		root.tag=1;
	}
}
void upd_add(int &o,int l,int r,int pos,int c)
{
	if(pos<l || pos>r)
		return;
	if(!o)
		o=++cnt;
	if(l==r)
	{
		root.sum=add(root.sum,c);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	pushdown(o);
	if(pos<=mid)
		upd_add(root.ls,l,mid,pos,c);
	else
		upd_add(root.rs,mid+1,r,pos,c);
	pushup(o);
}
void upd_mul(int o,int l,int r,int L,int R,int c)
{
	if(!o || L>r || R<l || L>R)
		return;
	if(L<=l && r<=R)
	{
		modify(o,c);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	pushdown(o);
	if(L<=mid)
		upd_mul(root.ls,l,mid,L,R,c);
	if(R>mid)
		upd_mul(root.rs,mid+1,r,L,R,c);
	pushup(o);
}
int query(int o,int l,int r,int L,int R)
{
	if(!o || L>r || R<l || L>R)
		return 0;
	if(L<=l && r<=R)
		return root.sum;
	int res=0;
	int mid=(l+r)>>1;
	pushdown(o);
	if(L<=mid)
		res=add(res,query(root.ls,l,mid,L,R));
	if(R>mid)
		res=add(res,query(root.rs,mid+1,r,L,R));
	return res;
}
void pr(int o,int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		printf("%d ",root.sum);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	pushdown(o);
	pr(root.ls,l,mid);
	pr(root.rs,mid+1,r);
}
int rt[MAXN],delta[MAXN],ans=0;
struct opr
{
	int L,R,c;
	int type;//0-add 1-mul
} opt[MAXN];
int tp=0,pres[MAXN],tot;
void dfs(int u,int fa)
{
	if(mxson[u])
	{
		rt[mxson[u]]=rt[u];
		delta[mxson[u]]=delta[u]+1;
		dfs(mxson[u],u);
	}
	upd_add(rt[u],0,n-1,0+delta[u],1);
	for(int i=head[u]; i; i=nx[i])
	{
		int v=to[i];
		if(v==fa || v==mxson[u])
			continue;
		rt[v]=++cnt;
		dfs(v,u);
		tp=0;
		for(int j=0; j<=mxdep[v]; ++j)
		{
			int tmp=query(rt[u],0,n-1,0+delta[u],min(j+delta[u],k-j-1+delta[u]));
			int x=query(rt[v],0,n-1,j,j);
			tmp=mul(tmp,x);
			++tp;
			opt[tp].L=j+1+delta[u],opt[tp].R=k-j-1+delta[u];
			opt[tp].c=x,opt[tp].type=1;
			if(opt[tp].L>opt[tp].R)
				--tp;
			else
			{
				++tot;
				pres[tot]=add(pres[tot-1],x);
			}
			++tp;
			opt[tp].L=j+1+delta[u],opt[tp].c=tmp,opt[tp].type=0;
		}
		int lstL=-1,lstR=-1;
		for(int p=tp; p>=1; --p)
			if(opt[p].type==1)
			{
				if(lstL==-1)
					upd_mul(rt[u],0,n-1,opt[p].L,opt[p].R,pres[tot]+1);
				else
				{
					upd_mul(rt[u],0,n-1,opt[p].L,lstL-1,pres[tot]+1);
					upd_mul(rt[u],0,n-1,lstR+1,opt[p].R,pres[tot]+1);
				}
				lstL=opt[p].L,lstR=opt[p].R;
				--tot;
			}
		for(int p=1; p<=tp; ++p)
			if(opt[p].type==0)
				upd_add(rt[u],0,n-1,opt[p].L,opt[p].c);
	}
	ans=add(ans,query(rt[u],0,n-1,0+delta[u],k+delta[u]));
}
int main()
{
	n=read(),k=read();
	for(int i=1; i<n; ++i)
	{
		int u=read(),v=read();
		addedge(u,v);
		addedge(v,u);
	}
	dfs_init(1,0);
	rt[1]=++cnt,delta[1]=0;
	dfs(1,0);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}