Loj 2253 礼物

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二项式定理 + 矩阵快速幂.

设 $f(i)$ 表示前 $i$ 个人带来的礼物总和,显然有 $f(0)=0,f(i)=2f(i-1)+i^k$ .

答案为 $f(n)-f(n-1)=f(n-1)+n^k$ ,于是只需要设法求出 $f(n-1)$ .

用矩阵快速幂加速递推,需要将 $i^k$ 也通过一些元素线性表示出来.

考虑将它用二项式定理展开,
$$
i^k=((i-1)+1)^k=\sum_{j=0}^k (i-1)^j \binom{k}{j}
$$
可以发现 $i^k$ 可以由 $(i-1)^0,(i-1)^1,\dots,(i-1)^k$ 线性表示.

于是向量中维护 $i^0,i^1,\dots,i^k,f(i)$ 这些元素,用矩阵快速幂加速转移.

时间复杂度 $O(k^3\log n)$ .

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//%std
#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
	ll out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const int P=1e9+7;
int add(int a,int b)
{
	return (a+b>=P)?(a+b-P):(a+b);
}
void inc(int &a,int b)
{
	a=add(a,b);
}
int mul(int a,int b)
{
	return 1LL * a * b % P;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			res=mul(res,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return res;
}
const int K=12;
int k;
struct Matrix
{
	int v[K][K];
	Matrix(){memset(v,0,sizeof v);}
	Matrix operator * (const Matrix &rhs) const
	{
		Matrix res;
		for(int i=0;i<=k+1;++i)
			for(int p=0;p<=k+1;++p) if(v[i][p])
				for(int j=0;j<=k+1;++j)
					inc(res.v[i][j],mul(v[i][p],rhs.v[p][j]));
		return res;
	}
	void init()
	{
		for(int i=0;i<=k;++i)
		{
			v[i][0]=1;
			for(int j=1;j<=i;++j)
				v[i][j]=add(v[i-1][j],v[i-1][j-1]);
		}
		memcpy(v[k+1],v[k],sizeof v[k+1]);
		v[k+1][k+1]=2;
	}
}st,trans;
Matrix fpow(Matrix a,ll b)
{
	Matrix res;
	for(int i=0;i<=k+1;++i)
		res.v[i][i]=1;
	while(b)
	{
		if(b&1LL)
			res=res*a;
		a=a*a;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
ll n;
int main()
{
	n=read(),k=read();
	if(n==1)
		return puts("1"),0;
	trans.init();
	for(int i=0;i<=k+1;++i)
		st.v[i][0]=1;
	st=fpow(trans,n-2)*st;
	int ans=st.v[k+1][0];
	inc(ans,fpow(n%P,k));
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}