Loj 2271 遗忘的集合

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多项式 $\ln$ + 莫比乌斯反演.

Loj 556 是给出每种物品的体积,问填充背包的方案数,而这个题是给出填充背包的方案数,问各个物品的体积.

仍然考虑生成函数,设方案数的生成函数为 $F(x)$ ,集合 $S$ 是否包含 $i$ 记为 $a_i$ ,则
$$
F(x)=\prod_{i=1}^n (\frac{1}{1-x_i})^{a_i} \\
\ln(F(x))=\sum_{i=1}^n a_i\cdot \ln(\frac{1}{1-x_i}) \\
\ln(F(x))=\sum_{i=1}^n a_i\cdot \sum_{j=1}^{\infty} \frac{x^{ij}}{j} \\
\ln(F(x))=\sum_{i=1}^{\infty} x_i\cdot \sum_{d|i} a_d\cdot \frac{d}{i}
$$
将 $\ln(F(x))$ 求出,注意卷积要使用 MTT .

记 $\ln(F(x))$ 对应的数列为 $f$ ,则
$$
n\cdot f_n=\sum_{d|n} d\cdot a_d
$$
莫比乌斯反演,
$$
i\cdot a_i=\sum_{d|i} \mu(\frac{i}{d})\cdot d\cdot f_d
$$
预处理 $\mu$ 后,将每个 $d\cdot f_d$ 的贡献加到 $i$ 中,根据调和级数,时间复杂度 $O(n\log n)$ .

最后可以直接输出每个不为 $0$ 的 $i\cdot a_i$ ,因为 $a_i$ 只会是 $0,1$ .

写了一发 myy 的 $4$ 次 DFT 的 MTT ,注意这个做法中,虚部也存了信息,所以 IDFT 的时候不能只对实部除以 $n$.

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//%std
#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const int MAXN=(1<<21)+1000;
int P;
int add(int a,int b)
{
	return ((1LL*a+1LL*b)%P+P)%P;
}
void inc(int &a,int b)
{
	a=add(a,b);
}
int mul(int a,int b)
{
	return 1LL * a * b % P;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			res=mul(res,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return res;
}
struct Complex
{
	double r,i;
	Complex(double r=0,double i=0):r(r),i(i) {}
	Complex operator + (const Complex &rhs) const
	{
		return Complex(r+rhs.r,i+rhs.i);
	}
	Complex operator - (const Complex &rhs) const
	{
		return Complex(r-rhs.r,i-rhs.i);
	}
	Complex operator * (const Complex &rhs) const
	{
		return Complex(r*rhs.r-i*rhs.i,r*rhs.i+i*rhs.r);
	}
	Complex conj()
	{
		return Complex(r,-i);
	}
};
const double Pi=acos(-1.0);
int rev[MAXN],curn;
Complex omega[MAXN],inv[MAXN];
void init(int n)
{
	if(curn==n)
		return;
	for(int i=0; i<n; ++i)
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(n>>1));
	for(int i=0;i<n;++i)
		omega[i]=Complex(cos(Pi*i/n),sin(Pi*i/n));
	curn=n;
}
void DFT(Complex *a,int n,bool invflag)
{
	init(n);
	for(int i=0; i<n; ++i)
		if(i<rev[i])
			swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int l=2; l<=n; l<<=1)
	{
		int m=l>>1;
		for(Complex *p=a; p!=a+n; p+=l)
		{
			for(int i=0; i<m; ++i)
			{
				Complex t=omega[n/m*i]*p[i+m];
				if(invflag)
					t=omega[n/m*i].conj()*p[i+m];
				p[i+m]=p[i]-t;
				p[i]=p[i]+t;
			}
		}
	}
	if(invflag)
	{
		for(int i=0; i<n; ++i)
			a[i].r/=n,a[i].i/=n;
	}
}
void MTT(int *A,int *B,int *C,int lenA,int lenB)
{
	int lenC=lenA+lenB-1,n=1;
	while(n<lenC)
		n<<=1;
	if(lenA<=10 && lenB<=10)
	{
		static int tmp[MAXN];
		for(int i=0;i<lenC;++i)
			tmp[i]=0;
		for(int i=0;i<lenA;++i)
			for(int j=0;j<lenB;++j)
				inc(tmp[i+j],mul(A[i],B[j]));
		for(int i=0;i<lenC;++i)
			C[i]=tmp[i];
		return;
	}
	static Complex a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN],d[MAXN];
	for(int i=0; i<lenA; ++i)
		a[i]=Complex(A[i]&32767,A[i]>>15);
	for(int i=0; i<lenB; ++i)
		b[i]=Complex(B[i]&32767,B[i]>>15);
	for(int i=lenA;i<n;++i)
		a[i]=Complex(0,0);
	for(int i=lenB;i<n;++i)
		b[i]=Complex(0,0);
	DFT(a,n,false);
	DFT(b,n,false);
	for(int i=0; i<n; ++i)
	{
		int j=(n-i)&(n-1);
		Complex A0=(a[i]+a[j].conj())*Complex(0.5,0);
		Complex A1=(a[i]-a[j].conj())*Complex(0,-0.5);
		Complex B0=(b[i]+b[j].conj())*Complex(0.5,0);
		Complex B1=(b[i]-b[j].conj())*Complex(0,-0.5);
		c[i]=A0*B0+A0*B1*Complex(0,1);
		d[i]=A1*B0+A1*B1*Complex(0,1);
	}
	DFT(c,n,true);
	DFT(d,n,true);
	for(int i=0; i<lenC; ++i)
	{
		int s1=(ll)(c[i].r+0.5)%P;
		int s2=(ll)(c[i].i+0.5)%P;
		int s3=(ll)(d[i].r+0.5)%P;
		int s4=(ll)(d[i].i+0.5)%P;
		C[i]=add(s1,mul(s4,1<<30));
		inc(C[i],mul(add(s2,s3),1<<15));
	}
}
void PolyInverse(int *A,int *B,int N) // B=A^(-1)
{
	int n=1;
	while(n<N)
		n<<=1;
	static int res[MAXN],tmp[MAXN];
	res[0]=fpow(A[0],P-2);
	for(int i=2; i<=n; i<<=1)
	{
		MTT(A,res,tmp,i,i);
		MTT(tmp,res,tmp,i,i);
		for(int j=0; j<i; ++j)
			res[j]=add(mul(2,res[j]),P-tmp[j]);
	}
	copy(res,res+N,B);
}
void PolyDiff(int *A,int n)
{
	for(int i=0; i<n-1; ++i)
		A[i]=mul(i+1,A[i+1]);
	A[n-1]=0;
}
void PolyInt(int *A,int n)
{
	for(int i=n+1; i>=1; --i)
		A[i]=mul(fpow(i,P-2),A[i-1]);
	A[0]=0;
}
void PolyLn(int *A,int *B,int n) // B=ln(A)
{
	static int invA[MAXN],tmp[MAXN];
	PolyInverse(A,invA,n);
	copy(A,A+n,tmp);
	PolyDiff(tmp,n);
	MTT(tmp,invA,tmp,n,n);
	PolyInt(tmp,n);
	copy(tmp,tmp+n,B);
}
int n,m=0,ans[MAXN],a[MAXN],f[MAXN];
int cnt=0,prime[MAXN],mu[MAXN],ism[MAXN];
int main()
{
	n=read(),P=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		f[i]=read();
	f[0]=1;
	PolyLn(f,f,n+1);
	ism[1]=1,mu[1]=1;
	for(int i=2; i<=n; ++i)
	{
		if(!ism[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			mu[i]=P-1;
		}
		int lim=n/i;
		for(int j=1; j<=cnt && prime[j]<=lim; ++j)
		{
			ism[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j])
				mu[i*prime[j]]=P-mu[i];
			else
			{
				mu[i*prime[j]]=0;
				break;
			}
		}
	}
	for(int i=1; i<=n; ++i)
	{
		int x=mul(i,f[i]);
		for(int j=i; j<=n; j+=i)
			inc(a[j],mul(mu[j/i],x));
	}
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		if(a[i])
			ans[++m]=a[i];
	printf("%d\n",m);
	for(int i=1; i<=m; ++i)
		printf("%d ",ans[i]);
	puts("");
	return 0;
}