bzoj 4402 Claris的剑

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组合计数.

  • 求本质不同的序列数目,考虑以最小字典序表示序列,进行计数.
  • 设序列中出现的最大值为 $m$ ,那么序列用最小字典序表示后只有下面两种情况:
  • $1,(2,1,2,1\dots),2,(3,2,3,2\dots),3,\dots m$ .
  • 或者 $1,(2,1,2,1\dots),2,(3,2,3,2\dots),3,\dots m,m-1$ .
  • 若序列长度为 $n$ ,第一种情况可以看做 $\lfloor \frac {n-m} 2 \rfloor$ 个相同的球放入 $m-1$ 个盒子的方案数.盒子可以为空.
  • 第二种情况可以看做$\lfloor \frac {n-m-1} 2 \rfloor$ 个相同的球放入 $m-1$ 个盒子的方案数.盒子可以为空.
  • 枚举 $m$ ,由于长度是 $\le N$ 的,所以相当于那些球也可以不放.预处理阶乘及其逆元后 $O(M)$ 计算即可.
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const int P=1e9+7;
inline int add(int a,int b)
{
	return (a + b) % P;
}
inline int mul(int a,int b)
{
	return 1LL * a * b % P;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			res=mul(res,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return res;
}
const int MAXN=2e6+10;
int fac[MAXN],invfac[MAXN];
int C(int n,int m)
{
	return mul(fac[m],mul(invfac[n],invfac[m-n]));
}
int calc(int n,int m)
{
	return C(n,m+n-1);
}
void Init_Fac(int n)
{
	fac[0]=invfac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	invfac[n]=fpow(fac[n],P-2);
	for(int i=n-1;i>=1;--i)
		invfac[i]=mul(invfac[i+1],i+1);
}
int main()
{
	int N=read(),M=read();
	Init_Fac((N+M)>>1);
	int ans=1;//m=1
	for(int m=2;m<=N && m<=M;++m)
	{
		ans=add(ans,calc((N-m)>>1,m));
		if(N>=m+1)
			ans=add(ans,calc((N-m-1)>>1,m));
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}