Loj 6703 小Q的序列

Posted on | Views:

给 dp 编组合意义转为 GF 问题,利用多项式操作优化.

考虑朴素 dp , 设 $dp(i,j)$ 表示考虑了前 $i$ 个元素,选了 $j$ 个到子序列中的权值之和,则有
$$
dp(i,j)=(c_i+j)\cdot dp(i-1,j-1)+dp(i-1,j)
$$
如果 $c_i=0$ ,这个递推式和第二类斯特林数很像,考虑把 $j$ 这一维变换一下,凑成相同的形式.

显然当 $i\ge j$ 时 $dp(i,j)$ 才可能有值,可以做一个变换,令 $dp(i,j)$ 表示原来的 $dp(i,i+j)$ ,变为
$$
dp(i,j)=(i-j+c_i)\cdot dp(i-1,j)+dp(i-1,j-1)
$$
可以给这个 dp 编一个类似第二类斯特林数的组合意义,将至多 $i$ 个元素分到 $j$ 个非空集合中:

  • $(i+c_i)\cdot dp(i-1,j)$ 表示第 $i$ 个元素没有被加入任何一个集合,贡献为 $i+c_i$ .
  • $-j\cdot dp(i-1,j)$ 表示第 $i$ 个元素加入了已有的 $j$ 个集合之一,产生了 $-1$ 的贡献.
  • $dp(i-1,j-1)​$ 表示第 $i​$ 个元素单独占据了新的一个集合.

枚举有 $k$ 个元素没有加入任何一个集合,答案为
$$
ans=\sum_{k=0}^n ([x^k]\prod_{i=1}^n((c_i+i)x+1)) \cdot f_{n-k}
$$
其中 $f_i=\sum dp(i,j)$ 表示有 $i$ 个数加入了集合中的贡献总和,求出每个 $f_i$ 即可算出答案.

由于一个数加入之前已有的集合时会有 $-1​$ 的贡献,相当于最后要乘上 $(-1)^{i-j}​$ , $i​$ 表示元素数, $j​$ 表示集合数.

可以先令这个系数为 $(-1)^j​$ ,那么就是 $dp(i,j)=(-1)^j\cdot {i\brace j}​$ 最后再对每个 $f_i​$ 乘上 $(-1)^i​$ 即可.

第二类斯特林数关于列 $j$ 的 EGF 为 $\frac {(\exp(x)-1)^j}{j!}$ , 那么 $dp(i,j)$ 关于列 $j$ 的 EGF 就是 $\frac {(1-\exp(x))^j}{j!}$ .
$$
f_i=\sum_{j} dp(i,j)\\
f_i=\cdot\sum_{j} i!\cdot[x^i] \frac {(1-\exp(x))^j}{j!}\\
f_i=i!\cdot[x^i] \sum_j \frac {(1-\exp(x))^j}{j!}\\
f_i=i!\cdot[x_i] \exp((1-\exp(x))
$$
做一次多项式 exp 求出所有的 $f_i$ ,前面的 $\prod_{i=1}^n((c_i+i)x+1)$ 用分治 NTT 计算,时间复杂度 $O(n\log^2 n)$ .

可以用分治 NTT 实现多项式 exp ,这里不是复杂度瓶颈.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
//%std
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define y1 ysgh
inline int read()
{
	int out = 0, fh = 1;
	char jp = getchar();
	while ((jp > '9' || jp < '0') && jp != '-') jp = getchar();
	if (jp == '-')
		fh = -1, jp = getchar();
	while (jp >= '0' && jp <= '9') 
		out = out * 10 + jp - '0', jp = getchar();
	return out * fh;
}
void print(int x)
{
	if (x >= 10)
		print(x / 10);
	putchar('0' + x % 10);
}
void write(int x, char c)
{
	if (x < 0)
		putchar('-'), x = -x;
	print(x);
	putchar(c);
}
const int P = 998244353;
int add(int a, int b)
{
	return a + b >= P ? a + b - P : a + b;
}
void inc(int &a, int b)
{
	a = add(a, b);
}
int mul(int a, int b)
{
	return 1LL * a * b % P;
}
int fpow(int a, int b)
{
	int res = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1)
			res = mul(res, a);
		a = mul(a, a);
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
const int N = 1 << 18 | 10;
namespace Polynomial
{
	int curn = 0, rev[N], omega[N], inv[N], invn;
	void init(int n)
	{
		if (n == curn)
			return;
		for (int i = 0; i < n; ++i) 
			rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) * (n >> 1));
		for (int l = 2; l <= n; l <<= 1)
		{
			omega[l] = fpow(3, (P - 1) / l);
			inv[l] = fpow(omega[l], P - 2);
		}
		invn = fpow(n, P - 2);
		curn = n;
	}
	void DFT(int *a, int n, bool invflag)
	{
		init(n);
		for (int i = 0; i < n; ++i)
			if (i < rev[i])
				swap(a[i], a[rev[i]]);
		for (int l = 2; l <= n; l <<= 1)
		{
			int gi = omega[l], m = l >> 1;
			if (invflag)
				gi = inv[l];
			for (int *p = a; p != a + n; p += l)
			{
				int g = 1;
				for (int i = 0; i < m; ++i)
				{
					int t = mul(g, p[i + m]);
					p[i + m] = add(p[i], P - t);
					p[i] = add(p[i], t);
					g = mul(g, gi);
				}
			}
		}
		if (invflag)
		{
			for (int i = 0; i < n; ++i) 
				a[i] = mul(a[i], invn);
		}
	}
	void NTT(int *A, int *B, int *C, int lenA, int lenB)
	{
		int lenC = lenA + lenB - 1, n = 1;
		while (n < lenC) 
			n <<= 1;
		static int a[N], b[N];
		copy(A, A + lenA, a), fill(a + lenA, a + n, 0);
		copy(B, B + lenB, b), fill(b + lenB, b + n, 0);
		DFT(a, n, false);
		DFT(b, n, false);
		for (int i = 0; i < n; ++i) 
			C[i] = mul(a[i], b[i]);
		DFT(C, n, true);
	}
	void Inverse(int *A, int *B, int len)
	{
		int n = 1;
		while (n < len)
			n <<= 1;
		static int res[N], tmp[N];
		res[0] = fpow(A[0], P - 2);
		for (int i = 2; i <= n; i <<= 1)
		{
			NTT(A, res, tmp, i, i);
			NTT(tmp, res, tmp, i, i);
			for (int j = 0; j < i; ++j) 
				res[j] = add(mul(2, res[j]), P - tmp[j]);
		}
		copy(res, res + len, B);
	}
	void Derivate(int *A, int n)
	{
		for (int i = 0; i < n - 1; ++i) 
			A[i] = mul(i + 1, A[i + 1]);
		A[n - 1] = 0;
	}
	void Integrate(int *A, int n)
	{
		for (int i = n + 1; i >= 1; --i) 
			A[i] = mul(fpow(i, P - 2), A[i - 1]);
		A[0] = 0;
	}
	void Ln(int *A, int *B, int n)
	{
		static int invA[N], tmp[N];
		Inverse(A, invA, n);
		copy(A, A + n, tmp);
		Derivate(tmp, n);
		NTT(tmp, invA, tmp, n, n);
		Integrate(tmp, n);
		copy(tmp, tmp + n, B);
	}
	void Exp(int *A, int *B, int len)
	{
		int n = 1;
		while (n < len)
			n <<= 1;
		static int res[N], tmp[N];
		res[0] = 1;
		for (int i = 2; i <= n; i <<= 1)
		{
			Ln(res, tmp, i);
			for (int j = 0; j < i; ++j) 
				tmp[j] = add(A[j], P - tmp[j]);
			inc(tmp[0], 1);
			NTT(tmp, res, res, i, i);
		}
		copy(res, res + len, B);
	}
	typedef vector<int> poly;
	poly operator*(const poly &A, const poly &B)
	{
		int len = A.size() + B.size() - 1, n = 1;
		while (n < len) n <<= 1;
		poly C(len);
		static int a[N], b[N];
		memcpy(a, &A[0], A.size() * 4), memset(a + A.size(), 0, (n - A.size()) * 4);
		memcpy(b, &B[0], B.size() * 4), memset(b + B.size(), 0, (n - B.size()) * 4);
		DFT(a, n, false);
		DFT(b, n, false);
		for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = mul(a[i], b[i]);
		DFT(a, n, true);
		memcpy(&C[0], a, len * 4);
		return C;
	}
	poly Prod(int *a, int l, int r)
	{
		if (l == r)
			return poly { 1, a[l] };
		int mid = (l + r) >> 1;
		return Prod(a, l, mid) * Prod(a, mid + 1, r);
	}
}
using namespace Polynomial;
int n, a[N], fac[N], invfac[N], G[N];
int binom(int x, int y)
{
	if (x < 0 || y < 0 || x < y)
		return 0;
	return mul(fac[x], mul(invfac[y], invfac[x - y]));
}
int main()
{
	n = read();
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		fac[i] = mul(fac[i - 1], i);
	invfac[n] = fpow(fac[n], P - 2);
	for (int i = n - 1; i >= 0; --i)
		invfac[i] = mul(invfac[i + 1], i + 1);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		a[i] = add(i, read());
	poly F = Prod(a, 1, n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) 
		G[i] = add(0, P - invfac[i]);
	Exp(G, G, n + 1);
	for (int i = 0; i <= n; ++i)
		G[i] = mul(G[i], fac[i]);
	int ans = P - 1;
	for (int i = 0; i <= n; ++i)
	{
		int t = mul(F[i], G[n - i]);
		if ((n - i) & 1)
			inc(ans, P - t);
		else
			inc(ans, t);
	}
	cout << ans << '\n';
	return 0;
}