分析了几种多重背包的常见算法.
多重背包的问题形式
有 $n$ 个物品,其中第 $i$ 个物品的体积是 $v_i$ ,价值是 $w_i$ ,有 $c_i$ 个.
现在有一个容量为 $m$ 的背包,需要选出若干个物品放入背包中,满足它们体积和不超过 $m$ ,最大化价值总和.
朴素算法
设 $f(i,j)$ 表示考虑了前 $i$ 种物品,选出物品总体积不超过 $j$ 时的最大价值.
$$
f(i,j)=\max_{k=0}^{k\cdot v_i\le j} \lbrace f(i-1,j-k\cdot v_i+k\cdot w_i) \rbrace
$$
枚举 $i,j,k$ 进行转移,时间复杂度 $O(nm\max c_i)$ .
二进制拆分
对每个物品,从小到大枚举 $k$ ,若 $c_i\ge 2^k$ ,就从 $c_i$ 中拿出 $k$ 个形成以一个新物品,体积是 $v_i\cdot 2^k$ ,价值是 $w_i\cdot 2^k$.
若最后 $c_i$ 还有剩下的,就将这 $c_i$ 个组合成一个新物品.
用这些新物品代替原来的 $c_i$ 个物品,对所有新物品做一个 $01$ 背包,容易证明和原问题是等价的.
时间复杂度 $O(nm\log \max c_i)$ .
单调队列优化
观察朴素算法的转移形式,
$$
f(i,j)=\max_{k=0}^{k\cdot v_i\le j} \lbrace f(i-1,j-k\cdot v_i+k\cdot w_i) \rbrace
$$
固定 $i$ ,可以发现一个 $f(i-1,j)$ 只会被用于更新 $f(i,j+k\cdot v_i)$ ,而 $v_i$ 是确定的.
于是我们可以将所有 $f(i-1,j)$ 按照模 $v_i$ 的结果分成若干组,每组分别去更新 $f(i)$ .
考虑 $j\bmod v_i=r$ 的这一组,它们也只能更新 $j\bmod v_i=r$ 的 $f(i.j)$ .
那么我们可以直接把 $j$ 写成 $pv_i+r$ 的形式,这组内的转移式就可以写为
$$
f(i,pv_i+r) = \max \lbrace f(i-1,(p-k)v_i+r)+k\cdot w_i\rbrace,k\le c_i
$$
那么 $p-k$ 的合法选择范围就是一个长度固定的后缀的形式,随着 $p$ 增大不断向后滑动.
这就是一个滑动窗口的最优化 dp 了,可以用单调队列进行优化.
时间复杂度 $O(nm)$ .