bzoj 2707 走迷宫

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tarjan 缩点 + 高斯消元.

设 $f(i)$ 表示当前在点 $i$ ,到达终点的期望步数,转移有
$$
f(i)=1+\sum_{i\to j\in E} \frac{f(j)}{outdeg(i)}
$$
直接高斯消元复杂度是 $O(n^3)$ ,无法接受.

注意到成环的情况只可能存在于同一个 SCC 中,而每个 SCC 的大小 $\le 100$ ,考虑对每个 SCC 高斯消元.

用 tarjan 将每个 SCC 缩成一个点,删掉那些不能到终点的点,或者存在某个后继不能到终点的点.

如果起点此时被删掉了,说明答案为 INF .

缩点后的图为 DAG ,将所有点做一个拓扑排序,按照拓扑序从后往前处理每个 SCC .

处理某个 SCC 时,对于每条内部点连出去的边,另一端要么也在该 SCC 内,要么已经在其他 SCC 中被计算过了.

于是用高斯消元可以解出这个 SCC 内所有点的 $f$ 值.

记 SCC 大小为 $s$ ,则时间复杂度为 $O(m+\sum s^3)$ .

实数的高斯消元需要注意精度问题,加个 eps 来判断是否为 0 .

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//%std
#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const int MAXN=1e4+10,K=101;
const double eps=1e-8;
double a[K][K],tmp[K],f[MAXN];
int siz;
void Gauss()
{
	for(int i=0;i<siz;++i)
	{
		int j;
		for(j=i;j<siz;++j)
			if(fabs(a[i][j])>eps)
				break;
		for(int k=i;k<=siz;++k)
			swap(a[i][k],a[j][k]);
		for(int j=i+1;j<siz;++j)
		{
			double t=a[j][i]/a[i][i];
			for(int k=i;k<=siz;++k)
				a[j][k]-=t*a[i][k];
		}
	}
	for(int i=siz-1;i>=0;--i)
	{
		tmp[i]=a[i][siz]/a[i][i];
		for(int j=i-1;j>=0;--j)
			a[j][siz]-=tmp[i]*a[j][i];
	}
	for(int i=0;i<siz;++i)
		for(int j=0;j<=siz;++j)
			a[i][j]=0;
}
int n,m,S,T;
int dfn[MAXN],low[MAXN],idx=0,stk[MAXN],tp=0,bel[MAXN],rnk[MAXN],cnt=0;
vector<int> scc[MAXN],inv[MAXN];
int ecnt=0,head[MAXN],to[MAXN*100],nx[MAXN*100],indeg[MAXN],outdeg[MAXN];
void addedge(int u,int v)
{
	++ecnt,++outdeg[u];
	to[ecnt]=v;
	nx[ecnt]=head[u];
	head[u]=ecnt;
	inv[v].push_back(u);
}
bool vis[MAXN],del[MAXN],in[MAXN];
queue<int> q;
void init()
{
	vis[T]=true;
	q.push(T);
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		siz=inv[u].size();
		for(int i=0;i<siz;++i)
		{
			int v=inv[u][i];
			if(!vis[v])
			{
				vis[v]=true;
				q.push(v);
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		if(!vis[i])
		{
			del[i]=true;
			q.push(i);
		}
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		siz=inv[u].size();
		for(int i=0;i<siz;++i)
		{
			int v=inv[u][i];
			if(!del[v])
			{
				del[v]=true;
				q.push(v);
			}
		} 
	}
}
void tarjan(int u)
{
	in[u]=true,stk[++tp]=u;
	dfn[u]=low[u]=++idx;
	for(int i=head[u];i;i=nx[i])
	{
		int v=to[i];
		if(!dfn[v])
		{
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}
		else if(in[v])
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(dfn[u]==low[u])
	{
		++cnt;
		int x=0,t=0;
		while(x!=u)
		{
			x=stk[tp--];
			bel[x]=cnt;
			scc[cnt].push_back(x);
			rnk[x]=t++;
			in[x]=false;
		}
	}
}
int p[MAXN],tot=0;
vector<int> G[MAXN];
void toposort()
{
	for(int i=1;i<=cnt;++i)
		vis[i]=false;
	for(int i=1;i<=cnt;++i)
	{
		siz=scc[i].size();
		for(int j=0;j<siz;++j)
		{
			int u=scc[i][j];
			for(int k=head[u];k;k=nx[k])
			{
				int v=to[k];
				if(bel[u]!=bel[v] && !vis[bel[v]])
					G[i].push_back(bel[v]),vis[bel[v]]=true,++indeg[bel[v]];
			}
		}
		for(int j=0;j<siz;++j)
		{
			int u=scc[i][j];
			for(int k=head[u];k;k=nx[k])
			{
				int v=to[k];
				if(bel[u]!=bel[v])
					vis[bel[v]]=false;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=cnt;++i)
		if(!indeg[i])
			q.push(i);
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		p[++tot]=u;
		siz=G[u].size();
		for(int i=0;i<siz;++i)
		{
			int v=G[u][i];
			--indeg[v];
			if(!indeg[v])
				q.push(v);
		}
	}
}
void solve()
{
	while(cnt)
	{
		int x=p[cnt];
		siz=scc[x].size();
		for(int y=0;y<siz;++y)
		{
			int u=scc[x][y];
			if(u!=T)
			{
				for(int i=head[u];i;i=nx[i])
				{
					int v=to[i];
					if(del[v])
						continue;
					if(bel[v]==bel[u])
						a[y][rnk[v]]-=1.0/outdeg[u]; // 可能有重边,用-=
					else
						a[y][siz]+=f[v]/outdeg[u];
				}
				a[y][siz]+=1;
			}
			a[y][y]+=1; // 可能有自环,用+=
		}
		Gauss();
		for(int y=0;y<siz;++y)
			f[scc[x][y]]=tmp[y];
		--cnt;
	}
}
int main()
{
	n=read(),m=read(),S=read(),T=read();
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int u=read(),v=read();
		addedge(u,v);
	}
	init();
	if(del[S])
		return puts("INF"),0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		if(!del[i] && !dfn[i])
			tarjan(i);
	toposort();
	solve();
	printf("%.3f\n",f[S]);
	return 0;
}