bzoj 3684 大朋友和多叉树

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生成函数 + 拉格朗日反演 + 多项式操作.

设 $f(x)$ 表示权值为 $x$ 的神犇多叉树的个数,边界为 $f(1)=1$ .

转移时,枚举根节点有 $k$ 个孩子,转移是将他们全部卷积起来.

设 $F(x)$ 是答案的生成函数,则
$$
F(x)=\sum_{k\in D} F^k(x) + x
$$
可以找出它的复合逆 $G(x)=x-\sum_{k\in S} x^k$ .

保证了 $S$ 中的元素 $\ge 2$ ,所以 $F,G$ 的常数项都为 $0$ , $1$ 次项系数都为 $1$ .

于是可以用拉格朗日反演求出 $[x^n] F(x)$ .
$$
[x^n] F(x)=[x^{n-1}] \frac 1 n (\frac{x}{G(x)})^n
$$

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//%std
#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const int P=950009857,G=7;
int add(int a,int b)
{
	return (a+b>=P)?(a+b-P):(a+b);
}
void inc(int &a,int b)
{
	a=add(a,b);
}
int mul(int a,int b)
{
	return 1LL * a * b % P;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			res=mul(res,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return res;
}
const int MAXN=8e5+10;
int rev[MAXN],omega[MAXN],inv[MAXN],curn;
void init(int n)
{
	for(int i=0;i<n;++i)
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(n>>1));
	for(int l=2; l<=n; l<<=1)
	{
		omega[l]=fpow(G,(P-1)/l);
		inv[l]=fpow(omega[l],P-2);
	}
	curn=n;
}
void DFT(int *a,int n,bool invflag)
{
	if(curn!=n)
		init(n);
	for(int i=0; i<n; ++i)
		if(i<rev[i])
			swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int l=2; l<=n; l<<=1)
	{
		int m=(l>>1);
		int gi=omega[l];
		if(invflag)
			gi=inv[l];
		for(int *p=a; p!=a+n; p+=l)
		{
			int g=1;
			for(int i=0; i<m; ++i)
			{
				int t=mul(g,p[i+m]);
				p[i+m]=add(p[i],P-t);
				p[i]=add(p[i],t);
				g=mul(g,gi);
			}
		}
	}
	if(invflag)
	{
		int invn=fpow(n,P-2);
		for(int i=0; i<n; ++i)
			a[i]=mul(a[i],invn);
	}
}
void NTT(int *A,int *B,int *C,int lenA,int lenB)
{
	static int a[MAXN],b[MAXN];
	int lenC=lenA+lenB-1,n=1;
	while(n<lenC)
		n<<=1;
	for(int i=0;i<lenA;++i)
		a[i]=A[i];
	for(int i=lenA;i<n;++i)
		a[i]=0;
	for(int i=0;i<lenB;++i)
		b[i]=B[i];
	for(int i=lenB;i<n;++i)
		b[i]=0;
	DFT(a,n,false);
	DFT(b,n,false);
	for(int i=0; i<n; ++i)
		C[i]=mul(a[i],b[i]);
	DFT(C,n,true);
}
void PolyInverse(int *A,int *B,int N)
{
	int n=1;
	while(n<N)
		n<<=1;
	static int tmp[MAXN];
	B[0]=fpow(A[0],P-2);
	for(int i=2;i<=n;i<<=1)
	{
		NTT(A,B,tmp,i,i);
		NTT(tmp,B,tmp,i,i);
		for(int j=0;j<i;++j)
			B[j]=add(mul(2,B[j]),P-tmp[j]);
	}
}
void PolyDiff(int *A,int n)
{
	for(int i=0;i<n-1;++i)
		A[i]=mul(A[i+1],i+1);
	A[n-1]=0;
}
void PolyInt(int *A,int n)
{
	for(int i=n;i>=1;--i)
		A[i]=mul(A[i-1],fpow(i,P-2));
	A[0]=0;
}
void PolyLn(int *A,int *B,int n)
{
	static int tmp[MAXN],Inv[MAXN];
	copy(A,A+n,tmp);
	PolyDiff(tmp,n);
	PolyInverse(A,Inv,n);
	NTT(tmp,Inv,B,n,n);
	PolyInt(B,n);
}
void PolyExp(int *A,int *B,int N)
{
	int n=1;
	while(n<N)
		n<<=1;
	static int tmp[MAXN];
	B[0]=1;
	for(int i=2;i<=n;i<<=1)
	{
		PolyLn(B,tmp,i);
		for(int j=0;j<i;++j)
			tmp[j]=add(A[j],P-tmp[j]);
		tmp[0]=add(tmp[0],1);
		NTT(tmp,B,B,i,i);
	}
}
void PolyPower(int *A,int *B,int k,int n)
{
	static int tmp[MAXN];
	PolyLn(A,tmp,n);
	for(int i=0;i<n;++i)
		tmp[i]=mul(tmp[i],k);
	PolyExp(tmp,B,n);
}
int n,m,g[MAXN],Invg[MAXN],f[MAXN];
int main()
{
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int k=read();
		g[k-1]=P-1;
	}
	g[0]=add(g[0],1);
	PolyInverse(g,Invg,n+1);
	PolyPower(Invg,f,n,n+1);
	cout<<mul(f[n-1],fpow(n,P-2))<<endl;
	return 0;
}