bzoj 3625 小朋友和二叉树

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生成函数 + 多项式操作.

设 $F(i)$ 表示权值为 $i$ 的二叉树数目, $C(i)$ 表示 $i$ 这个数字是否在集合中出现过.

边界有 $F(0)=1$ ,转移时枚举根节点权值为 $i$ ,左子树权值为 $j$ .

$$
F(n)=\sum_{i=0}^n C(i)\sum_{j=0}^{n-i} F(j)F(n-i-j)
$$

这个式子和卡特兰数的递推式很像.

利用类似的做法求通项,把 $F,C$ 都看成多项式,得到
$$
F=CF^2+1 \\
F=\frac{1\pm \sqrt{1-4C}}{2C}
$$
考虑到边界条件 $C(0)=0,\lim _{x\to 0} F(x)=1$ ,可以发现此处应该取负号.

于是得到
$$
F=\frac{2}{1+\sqrt{1-4C}}
$$
用多项式开根 + 多项式求逆处理,时间复杂度 $O(n\log n)$ ,多项式开根可以直接套牛顿迭代来做.

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//%std
#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const int P=998244353,G=3,inv2=(P+1)>>1;
int add(int a,int b)
{
	return (a+b>=P)?(a+b-P):(a+b);
}
int mul(int a,int b)
{
	return 1LL * a * b % P;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			res=mul(res,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return res;
}
const int MAXN=4e5+10;
int rev[MAXN],omega[MAXN],inv[MAXN],curn;
void DFTInit(int n)
{
	if(n==curn)
		return;
	for(int i=0;i<n;++i)
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(n>>1));
	for(int l=2;l<=n;l<<=1)
	{
		omega[l]=fpow(G,(P-1)/l);
		inv[l]=fpow(omega[l],P-2);
	}
	curn=n;
}
void DFT(int *a,int n,bool invflag)
{
	DFTInit(n);
	for(int i=0;i<n;++i)
		if(i<rev[i])
			swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int l=2;l<=n;l<<=1)
	{
		int m=l>>1;
		int gi=omega[l];
		if(invflag)
			gi=inv[l];
		for(int *p=a;p!=a+n;p+=l)
		{
			int g=1;
			for(int i=0;i<m;++i)
			{
				int t=mul(g,p[i+m]);
				p[i+m]=add(p[i],P-t);
				p[i]=add(p[i],t);
				g=mul(g,gi);
			}
		}
	}
	if(invflag)
	{
		int invn=fpow(n,P-2);
		for(int i=0;i<n;++i)
			a[i]=mul(a[i],invn);
	}
}
void NTT(int *A,int *B,int *C,int lenA,int lenB)
{
	static int a[MAXN],b[MAXN];
	int lenC=lenA+lenB-1;
	int n=1;
	while(n<lenC)
		n<<=1;
	copy(A,A+lenA,a);
	fill(a+lenA,a+n,0);
	copy(B,B+lenB,b);
	fill(b+lenB,b+n,0);
	DFT(a,n,false);
	DFT(b,n,false);
	for(int i=0;i<n;++i)
		C[i]=mul(a[i],b[i]);
	DFT(C,n,true);
}
void PolyInverse(int *A,int *B,int N) // B=A^(-1)
{
	int n=1;
	while(n<N)
		n<<=1;
	static int tmp[MAXN];
	B[0]=fpow(A[0],P-2);
	for(int i=2;i<=n;i<<=1)
	{
		NTT(A,B,tmp,i,i);
		NTT(tmp,B,tmp,i,i);
		for(int j=0;j<i;++j)
			B[j]=add(mul(2,B[j]),P-tmp[j]);
	}
}
void PolySqrt(int *A,int *B,int N) 
{
	int n=1;
	while(n<N)
		n<<=1;
	B[0]=1;
	static int tmp[MAXN];
	for(int i=2;i<=n;i<<=1)
	{
		PolyInverse(B,tmp,i);
		NTT(tmp,A,tmp,i,i);
		for(int j=0;j<i;++j)
			B[j]=mul(inv2,add(B[j],tmp[j]));
	}
}
int n,m,C[MAXN],tmp[MAXN],F[MAXN];
int main()
{
	n=read(),m=read()+1;
	C[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		int x=read();
		C[x]=P-4;
	}
	PolySqrt(C,tmp,m);
	tmp[0]=add(tmp[0],1);
	PolyInverse(tmp,F,m);
	for(int i=1;i<m;++i)
		printf("%d\n",mul(F[i],2));
	return 0;
}