bzoj 3160 万径人踪灭

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$Manacher+FFT$ .

考虑去掉第 $2$ 个限制,即允许选出的位置连续,算出所有的数目后再减去连续的数目.

连续的数目即回文串的数目,可以利用 $Manacher$ 求出,顺便填充间隔字符,便于下面的处理.

为了计算前者,可以考虑每个位置作为回文中心的贡献,若有 $x$ 对字符关于 $i$ 对称,则 $i$ 的贡献为 $2^x-1$ .

而两个相同的字符,若位置分别为 $j,k$ ,则它们关于 $(j+k)/2$ 对称.

分别计算字符 $a,b$ 的贡献,而贡献是一个卷积的形式,模数是 $P-1$ ,但系数不会超过 $n^2$ ,用 $FFT$ 优化.

注意当 $j\neq k$ 时,这对会贡献两次,需要简单处理一下.

时间复杂度 $O(n\log n)$ .

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//%std
#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const double Pi=acos(-1.0);
const int P=1e9+7;
int add(int a,int b)
{
	return (a+b>=P)?(a+b-P):(a+b);
}
void inc(int &a,int b)
{
	a=add(a,b);
}
int mul(int a,int b)
{
	return 1LL * a * b % P;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			res=mul(res,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return res;
}
const int MAXN=8e5+10;
struct Complex
{
	double r,i;
	Complex(double r=0,double i=0):r(r),i(i) {}
	Complex operator + (const Complex &rhs) const
	{
		return Complex(r+rhs.r,i+rhs.i);
	}
	Complex operator - (const Complex &rhs) const
	{
		return Complex(r-rhs.r,i-rhs.i);
	}
	Complex operator * (const Complex &rhs) const
	{
		return Complex(r*rhs.r-i*rhs.i,r*rhs.i+i*rhs.r);
	}
	Complex conj()
	{
		return Complex(r,-i);
	}
	ll out()
	{
		return ((ll)(r+0.5));
	}
};
int rev[MAXN],curn;
Complex omega[MAXN],inv[MAXN];
void init(int n)
{
	if(curn==n)
		return;
	for(int i=0;i<n;++i)
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(n>>1));
	for(int l=2;l<=n;l<<=1)
	{
		omega[l]=Complex(cos(2*Pi/l),sin(2*Pi/l));
		inv[l]=omega[l].conj();
	}
	curn=n;
}
void DFT(Complex *a,int n,bool invflag)
{
	init(n);
	for(int i=0;i<n;++i)
		if(i<rev[i])
			swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int l=2;l<=n;l<<=1)
	{
		int m=l>>1;
		Complex gi=omega[l];
		if(invflag)
			gi=inv[l];
		for(Complex *p=a;p!=a+n;p+=l)
		{
			Complex g=Complex(1,0);
			for(int i=0;i<m;++i)
			{
				Complex t=g*p[i+m];
				p[i+m]=p[i]-t;
				p[i]=p[i]+t;
				g=g*gi;
			}
		}
	}
	if(invflag)
	{
		Complex invn=Complex(1.0/n,0);
		for(int i=0;i<n;++i)
			a[i]=a[i]*invn;
	}
}
void FFT(Complex *A,Complex *B,Complex *C,int lenA,int lenB)
{
	static Complex FFT_A[MAXN],FFT_B[MAXN];
	int lenC=lenA+lenB-1;
	int n=1;
	while(n<lenC)
		n<<=1;
	copy(A,A+lenA,FFT_A);
	fill(FFT_A+lenA,FFT_A+n,Complex(0,0));
	copy(B,B+lenB,FFT_B);
	fill(FFT_B+lenB,FFT_B+n,Complex(0,0));
	DFT(FFT_A,n,false);
	DFT(FFT_B,n,false);
	for(int i=0;i<n;++i)
		C[i]=FFT_A[i]*FFT_B[i];
	DFT(C,n,true);
}
int n,tot=0,ans=0,R[MAXN];
char buf[MAXN],s[MAXN];
void Manacher()
{
	s[++tot]='$';
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		s[++tot]='#';
		s[++tot]=buf[i];
	}
	s[++tot]='#';
	s[++tot]='@';
	int p=0,mx=0;
	for(int i=1;i<=tot;++i)
	{
		int j=2*p-i;
		if(i>mx)
			R[i]=1;
		else if(mx-i>R[j])
			R[i]=R[j];
		else
			R[i]=mx-i+1;
		while(s[i-R[i]]==s[i+R[i]])
			++R[i];
		if(i+R[i]-1>mx)
			mx=i+R[i]-1,p=i;
		inc(ans,P-(R[i]>>1));
	}
}
ll f[MAXN];
Complex A[MAXN];
void solve(char ch)
{
	A[0]=Complex(0,0);
	for(int i=1;i<=tot;++i)
	{
		A[i]=Complex(s[i]==ch?1:0,0);
		if(s[i]==ch)
			f[2*i]++;
	}	
	FFT(A,A,A,tot+1,tot+1);
	for(int i=1;i<=2*tot+1;++i)
		f[i]+=A[i].out();
}
int main()
{
	scanf("%s",buf+1);
	n=strlen(buf+1);
	Manacher();
	solve('a');
	solve('b');
	for(int i=1;i<=2*tot+1;++i)
	{
		f[i]>>=1;
		inc(ans,add(fpow(2,f[i]%(P-1)),P-1));
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}