bzoj 3992 序列统计

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原根 + $NTT$ .

$M$ 是奇质数,可以先求出它的一个原根 $g_M$ ,将 $S$ 中的每个元素以及 $x$ 都转化为以 $g_M$ 为底的对数.

找 $M$ 的原根时,先预处理出 $M-1$ 的每个质因数 $p_i$ .

从 $2​$ 开始枚举每个数,检验它是否为原根.

只需要对于每个 $i$ ,依次算出 $g^{(M-1)/p_i}$ ,若这些数中有 $1$ ,则 $g​$ 不是原根,否则是原根.

于是 $\prod a_i\bmod M=x$ 就变成了 $\sum a_i’\bmod (M-1)=x’$ .

利用生成函数计算,就是要求多项式 $A(x)^n \bmod x^{M-1}$ 第 $x’$ 项的系数.

系数模数是 $NTT$ 模数,由于 $m$ 比较小,用不着多项式快速幂,可以直接写倍增快速幂.

时间复杂度 $O(m\log n\log m)$ .

注意 $x$ 不可以为 $0$ ,要将集合中为 $0$ 的元素忽略掉.

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//%std
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const int MAXN=3.3e4+10;
const ll P=1004535809,G=3;
ll add(ll a,ll b)
{
	return (a+b>=P)?(a+b-P):(a+b);
}
ll mul(ll a,ll b)
{
	ll res=a*b-(ll)((long double)a/P*b+1e-8)*P;
	return res<0?res+P:res;
}
ll fpow(ll a,ll b)
{
	ll res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			res=mul(res,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;		
	}
	return res;
}
ll omega[MAXN],inv[MAXN];
int rev[MAXN],curn=0;
void init(int n)
{
	if(curn==n)
		return;
	for(int i=0;i<n;++i)
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(n>>1));
	for(int l=2;l<=n;l<<=1)
	{
		omega[l]=fpow(G,(P-1)/l);
		inv[l]=fpow(omega[l],P-2);
	}
	curn=n;
}
void DFT(ll *a,int n,bool invflag)
{
	init(n);
	for(int i=0;i<n;++i)
		if(i<rev[i])
			swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int l=2;l<=n;l<<=1)
	{
		int m=(l>>1);
		int gi=omega[l];
		if(invflag)
			gi=inv[l];
		for(ll *p=a;p!=a+n;p+=l)
		{
			int g=1;
			for(int i=0;i<m;++i)
			{
				int t=mul(g,p[i+m]);
				p[i+m]=add(p[i],P-t);
				p[i]=add(p[i],t);
				g=mul(g,gi);
			}
		}
	}
	if(invflag)
	{
		int invn=fpow(n,P-2);
		for(int i=0;i<n;++i)
			a[i]=mul(a[i],invn);
	}
}
ll NTT_A[MAXN],NTT_B[MAXN];
int n,m,x,s,gm,Log[MAXN];
void NTT(ll *A,ll *B,ll *C,int lenA,int lenB)
{
	int lenC=lenA+lenB-1,n=1;
	while(n<lenC)
		n<<=1;
	for(int i=0;i<lenA;++i)
		NTT_A[i]=A[i];
	for(int i=lenA;i<n;++i)
		NTT_A[i]=0;
	for(int i=0;i<lenB;++i)
		NTT_B[i]=B[i];
	for(int i=lenB;i<n;++i)
		NTT_B[i]=0;
	DFT(NTT_A,n,false);
	DFT(NTT_B,n,false);
	for(int i=0;i<n;++i)
		C[i]=mul(NTT_A[i],NTT_B[i]);
	DFT(C,n,true);
	for(int i=m;i<2*m;++i)
	{
		C[i-m]=add(C[i-m],C[i]);
		C[i]=0;
	}
}
int fpow_m(int a,int b)
{
	int res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			res=res*a%m;
		a=a*a%m;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int pr[MAXN],pcnt=0;
int Find_gm()
{
	int t=m-1;
	for(int i=2;i*i<=t;++i)
		if(t%i==0)
		{
			pr[++pcnt]=i;
			while(t%i==0)
				t/=i;
		}
	if(t!=1)
		pr[++pcnt]=t;
	for(int i=2;i<m;++i)
	{
		bool flag=true;
		for(int j=1;j<=pcnt && flag;++j)
			if(fpow_m(i,(m-1)/pr[j])==1)
				flag=false;
		if(flag)
			return i;
	}
	return -1;
}
ll a[MAXN],b[MAXN];
void fpow_poly()
{
	while(n)
	{
		if(n&1)
			NTT(b,a,b,m,m);
		NTT(a,a,a,m,m);
		n>>=1;
	}
}
int main()
{
	n=read(),m=read(),x=read(),s=read();
	gm=Find_gm();
	int pw=1;
	Log[1]=0;
	for(int i=1;i<m-1;++i)
	{
		pw=pw*gm%m;
		Log[pw]=i;
	}
	--m;
	x=Log[x];
	for(int i=1;i<=s;++i)
	{
		int k=read();
		if(k)
			++a[Log[k]];
	}	
	b[0]=1;
	fpow_poly();
	printf("%lld\n",b[x]);
	return 0;
}