bzoj 3925 地震后的幻想乡

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$dp$ 计数.

只需要对于每个 $k$ ,算出从小到大加入第 $k$ 条边后图仍未连通的概率 $p_k$ ,则答案为 $\frac 1 {m+1}\sum_{i=1}^m p_k$ .

设 $cnt(S)$ 表示两端都在点集 $S$ 中的边的数目.

设 $f(S,i)$ 表示点集为 $i$ ,在点集中选了 $i$ 条边,使得这个点集不连通的方案数, $g(S,i)$ 表示连通的方案数.

显然有 $f(S,i)+g(S,i)={cnt(S)\choose i}$ .

计算 $f(S,i)$ 的做法相当经典,枚举 $S$ 中包含某个定点 $p$ 所在的连通块的点集 $T$ 进行转移.

为了方便,可以规定 $p$ 表示 $S$ 中编号最小的点.
$$
f(S,i+j)=\sum_{T\subset S,p\in T} g(T,i)\cdot {cnt(S-T)\choose j}
$$
概率就是合法的方案数除以总方案数.

通过枚举子集即可做到 $O(3^n\cdot m)$ 的复杂度.

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//%std
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
bool in(int S,int x)
{
	return (S>>x)&1;
}
#define lowbit(x) x&(-x)
const int MAXN=10,MAXM=45+1;
int n,m,cnt[1<<MAXN];
double C[MAXM][MAXM],f[1<<MAXN][MAXM],g[1<<MAXN][MAXM];
int main()
{
	n=read(),m=read();
	for(int i=0;i<=m;++i)
		C[i][0]=1;
	for(int i=1;i<=m;++i)
		for(int j=1;j<=i;++j)
			C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
	for(int i=0;i<m;++i)
	{
		int a=read()-1,b=read()-1;
		for(int S=0;S<(1<<n);++S)
			if(in(S,a) && in(S,b))
				++cnt[S];
	}
	for(int S=1;S<(1<<n);++S)
	{
		int p=lowbit(S);
		for(int T=(S-1)&S;T;T=(T-1)&S)
			if(T&p)
				for(int i=0;i<=m;++i)
				{
					g[T][i]=C[cnt[T]][i]-f[T][i];
					if(g[T][i])
						for(int j=0;i+j<=m;++j)
							f[S][i+j]+=g[T][i]*C[cnt[S-T]][j];
				}
	}
	double ans=0;
	for(int i=0;i<=m;++i)
		ans+=f[(1<<n)-1][i]/C[cnt[(1<<n)-1]][i];
	ans/=m+1;
	printf("%.6f\n",ans);
	return 0;
}