Project Euler 638

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算两次的思想.

一条路径的权值定义为 $k^s​$ ,其中 $s​$ 表示路径下方的面积.

设 $f(i,j)$ 表示从 $(0,0)$ 走到 $(i,j)$ 的所有路径的权值和,边界有 $f(i,0)=f(0,j)=1$ .

若上一步是从下方走过来的,面积不会变,若是从左边走过来的,面积就会加上 $i$ .

即
$$
f(i,j)=f(i-1,j)+f(i,j-1)\cdot k^i
$$
而从另一个方向上来考虑,这个面积 $s$ 也可以看做是路径右边的面积.

那么同理可以得到
$$
f(i,j)=f(i-1,j)\cdot k^j+f(i,j-1)
$$
比较两个方程,可以得出,当 $k\neq 1$ 时,
$$
f(i-1,j)=\frac{k^i-1}{k^j-1}\cdot f(i,j-1) \\
f(i,j)=\frac{k^{i+1}-1}{k^j-1}\cdot f(i+1,j-1)
$$
用这个式子递归下去算,直到 $j=0$ .

当 $k=1$ 时,求的就是路径条数,即 ${i+j\choose j}$ .

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//%std
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const int P=1e9+7;
int add(int a,int b)
{
	return (a+b>=P)?(a+b-P):(a+b);
}
void inc(int &a,int b)
{
	a=add(a,b);
}
int mul(int a,int b)
{
	return 1LL * a * b % P;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			res=mul(res,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int calc(int a,int b,int k)
{
	int res=1;
	if(k==1)
	{
		for(int i=a+1;i<=a+b;++i)
			res=mul(res,i);
		for(int i=1;i<=b;++i)
			res=mul(res,fpow(i,P-2));
	}
	else
	{
		for(int i=a+1;i<=a+b;++i)
			res=mul(res,add(fpow(k,i),P-1));
		for(int j=1;j<=b;++j)
			res=mul(res,fpow(add(fpow(k,j),P-1),P-2));
	}
	return res;
}
int main()
{
	int ans=0,pw=1;
	for(int k=1;k<=7;++k)
	{
		pw*=10;
		inc(ans,calc(pw+k,pw+k,k));
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}