$$
\max(S)=\sum_{T\subseteq S,T\neq \emptyset} (-1)^{|T|-1}\cdot \min(T) \\
\min(S)=\sum_{T\subseteq S,T\neq \emptyset} (-1)^{|T|-1}\cdot \max(T)
$$
其中 $\min(S)$ 表示非空集合 $S$ 中元素的最小值, $\max(S)$ 表示非空集合 $S$ 中元素的最大值.
只用证第一个等式,将所有元素取反即可得到第二个等式.
假设这个容斥系数是 $f(|T|)$ ,则需要证明 $f(x)=(-1)^{x-1}$ .
考虑集合 $S$ 中第 $x+1$ 大的元素,它对等式左右两边的贡献应当是相等的.
$$
[x=0]=\sum_{i=0}^{x}{x\choose i}\cdot f(i+1)
$$
对这个等式二项式反演.
$$
\begin{aligned}
f(x+1)&=\sum_{i=0}^x(-1)^{x-i}{x\choose i}\cdot [i=0]\\
&=(-1)^x
\end{aligned}
$$
得证.
这个式子对于概率/期望同样成立,常用于将期望中的 $\max$ 转化为 $\min$ 进行处理.