bzoj 4036 按位或

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min-max 容斥.

记 $\max(S)$ 表示集合 $S$ 中的位置全部变成 $1$ 的期望次数,即每一位变成 $1$ 的期望次数的最大值.

$\min(S)$ 表示集合 $S$ 中至少有一个位置变成 $1$ 的期望次数,即每一位变成 $1$ 的期望次数的最小值.

记 $U$ 为全集.

则根据 min-max 容斥,有
$$
ans=\max(U)=\sum_{S\neq \emptyset} (-1)^{|S|-1}\cdot \min(S)
$$

考虑 $S$ 中每个元素对 $\min(S)$ 的贡献,有
$$
\min(S)=\frac{1}{\sum_{T\cap S= \emptyset}p(T)}
$$
其中 $p(T)$ 表示每次选中 $T$ 中某个元素的概率.

而
$$
\sum_{T\cap S= \emptyset}p(T)=1-\sum_{T\subseteq(U-S)} p(T)
$$
暴力预处理每个集合的所有子集贡献之和是 $O(3^n)$ 的.

利用 ​$\rm FWT$ 处理,时间复杂度优化到 $O(n\cdot 2^n)$ .

注意判断无解的情况.

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//%std
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const double eps=1e-6;
#define lowbit(x) (x&(-x))
const int MAXN=20;
int n,conf[1<<MAXN];
double p[1<<MAXN];
int main()
{
	n=read();
	int U=0;
	for(int i=0; i<(1<<n); ++i)
	{
		scanf("%lf",&p[i]);
		if(p[i]>eps)
			U|=i;
	}
	if(U!=(1<<n)-1)
		return puts("INF")&0;
	conf[0]=-1;
	for(int i=1; i<(1<<n); ++i)
		conf[i]=-conf[i-lowbit(i)];
	for(int i=1; i<(1<<n); i<<=1) //FWT or
	{
		for(int j=0; j<(1<<n); j+=(i<<1))
			for(int k=j; k<j+i; ++k)
				p[k+i]+=p[k];
	}
	double ans=0;
	for(int i=0; i<(1<<n); ++i)
	{
		double tmp=1-p[U^i];
		if(tmp>eps)
			tmp=1/tmp;
		else
			tmp=0;
		ans+=tmp*(double)conf[i];
	}
	printf("%.10lf\n",ans);
	return 0;
}