bzoj 4031 小Z的房间

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矩阵树定理.

把每个房间看成一个点,每堵可以打的墙看成一条边,不难发现就是要求这张无向图的生成树个数.

使用矩阵树定理计算,但模数不是质数,需要用辗转相除法来消元.

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//%std
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const int P=1e9;
int add(int a,int b)
{
	return (a+b>=P)?(a+b-P):(a+b);
}
void inc(int &a,int b)
{
	a=add(a,b);
}
int mul(int a,int b)
{
	return 1LL * a * b % P;
}
const int MAXN=100;
int n=0,a[MAXN][MAXN],id[MAXN][MAXN];
void addrow(int x,int y,int k)
{
	for(int i=1;i<=n;++i)
		inc(a[x][i],mul(a[y][i],k));
}
int ans=1;
void Euclid(int x,int y)//最后使x不为0,y为0 
{
	if(!a[y][x])
		return;
	else if(!a[x][x])
	{
		swap(a[x],a[y]);
		ans=add(P,-ans);
		return;
	}
	if(a[x][x]>a[y][x])
		addrow(x,y,P-a[x][x]/a[y][x]);
	else
		addrow(y,x,P-a[y][x]/a[x][x]);
	Euclid(x,y);
}
void Det()
{
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		for(int j=i+1;j<=n;++j)
			Euclid(i,j);
		ans=mul(ans,a[i][i]);
		if(!ans)
			return;
	}		
}
int N,M;
char buf[MAXN];
int main()
{
	N=read(),M=read();
	for(int i=1;i<=N;++i)
	{
		scanf("%s",buf+1);
		for(int j=1;j<=M;++j)
			if(buf[j]=='.')
			{
				id[i][j]=++n;
				if(id[i-1][j])
				{
					int x=id[i-1][j],y=id[i][j];
					a[x][y]=a[y][x]=P-1;
					++a[x][x],++a[y][y];
				}
				if(id[i][j-1])
				{
					int x=id[i][j-1],y=id[i][j];
					a[x][y]=a[y][x]=P-1;
					++a[x][x],++a[y][y];
				}
			}
	}
	--n;
	Det();
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}