bzoj 4035 数组游戏

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$SG$ 函数 + 整除分块.

假定可以选择黑点进行操作,可以发现,若选择黑点,不能直接胜利,而对方下一步可以选同样的位置翻转回来.

所以最优策略下仍不会选择黑点进行操作.

把每个白点看成一个子游戏,最后将它们的 $SG$ 函数值全部异或起来就是整个游戏的 $SG$ 异或值.

根据 $SG$ 函数的定义,转移有,
$$
SG(i)=\mbox{mex}_{j=2}^{\lfloor \frac n i \rfloor}\ SG(i\cdot j)
$$
简单归纳一下不难得出,若 $\lfloor \frac n x\rfloor=\lfloor \frac n y\rfloor$ ,则 $SG(x)=SG(y)$ .

于是只有 $O(\sqrt n)$ 个有用的值,整除分块进行计算.

时间复杂度 $O(n)$ ,但实际上是跑不满的,可以通过.

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const int MAXN=1e5+10;
int n,m,SG[2][MAXN],stk[MAXN],tp;
bool vis[MAXN];
int nxt(int x,int y)
{
	return x==y?y+1:y/(y/(x+1));
}
void init()
{
	for(int i=1;i<=n;i=nxt(i,n))
	{
		tp=0;
		int tmp=0;
		for(int j=2;j<=i;j=nxt(j,i))
		{
			int x=i/j;
			int val=(x>m)?SG[1][n/x]:SG[0][x];
			stk[++tp]=tmp^val;
			vis[stk[tp]]=1;
			if((i/x-i/(x+1))&1)
				tmp^=val;
		}
		tmp=1;
		while(vis[tmp])
			++tmp;
		if(i>m)
			SG[1][n/i]=tmp;
		else
			SG[0][i]=tmp;
		for(int j=1;j<=tp;++j)
			vis[stk[j]]=0;
	}
}
int main()
{
	n=read();
	m=sqrt(n);
	init();
	int T=read();
	while(T--)
	{
		int tot=read(),ans=0;
		while(tot--)
		{
			int x=n/read();
			ans^=(x>m)?SG[1][n/x]:SG[0][x];
		}
		if(ans)
			puts("Yes");
		else
			puts("No");
	}
	return 0;
}