bzoj 3516 国王奇遇记加强版

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推式子题目.

设 $s_x=\displaystyle \sum_{i=1}^n i^x\cdot m^i$ ,则答案 $ans=s_m$ .

考虑构造出 $s_x$ 的递推式.

$$
\begin{aligned}
s_x+(n+1)^x\cdot m^{n+1}&=m\cdot\sum_{i=1}^n (i+1)^x \cdot m^i+m \\
&=m\cdot \sum_{i=1}^n \sum_{j=0}^x {x\choose j} i^j \cdot m^i+m\\
&=m\cdot \sum_{i=0}^x s_i\cdot {x\choose i} + m\\
(1-m)s_x&=m\cdot \sum_{i=0}^{x-1}s_i\cdot {x\choose i}+m-(n+1)^x\cdot m^{n+1}
\end{aligned}
$$

特判 $m=1$ 的情况,其余情况利用等比数列求和公式算出 $s_0$ ,再 $O(m^2)$ 递推求得 $s_m$ .

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const int MAXN=1e3+10;
const int P=1e9+7;
int add(int a,int b)
{
	return (a+b>=P)?(a+b-P):(a+b);
}
void upd(int &x,int y)
{
	x=add(x,y);
}
int mul(int a,int b)
{
	return 1LL * a * b % P;
}
int fpow(int a,int b)
{
	a=(a%P+P)%P;
	int res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			res=mul(res,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int inv(int x)
{
	return fpow(x,P-2);
}
int n,m,C[MAXN][MAXN];
int s[MAXN];
int main()
{
	n=read(),m=read();
	if(m==1)
		return printf("%d\n",mul(mul(n,n+1),inv(2)))&0;
	for(int i=0;i<=m;++i)
		C[i][0]=1;
	for(int i=1;i<=m;++i)
		for(int j=1;j<=i;++j)
			C[i][j]=add(C[i-1][j-1],C[i-1][j]);
	s[0]=fpow(m,n)-1;
	s[0]=mul(s[0],inv(m-1));
	s[0]=mul(s[0],m);
	for(int x=1;x<=m;++x)
	{
		int &tmp=s[x];
		for(int i=0;i<x;++i)
			upd(tmp,mul(s[i],C[x][i]));
		tmp=mul(tmp,m);
		upd(tmp,m);
		upd(tmp,P-mul(fpow(n+1,x),fpow(m,n+1)));
		tmp=mul(tmp,inv(1-m));
	}
	cout<<s[m]<<endl;
	return 0;
}