bzoj 4584 赛艇

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$dp$ + 组合数学.

  • 如果值域很小,那么可以直接设 $f(i,j)$ 表示考虑了前 $i$ 个人,第 $i$ 个人选 $j$ 的方案数.
  • 于是考虑离散化.将这些区间离散化为 $O(n)$ 个区间,区间按 $l$ 从小到大排序,且互不相交.
  • 设 $f(i,j)$ 表示考虑了前 $i$ 个人,第 $i$ 个人参了赛,且选择的数在第 $j$ 个区间内的方案数.
  • 那么 $1\sim i-1$ 这些人选择的数有在区间 $j$ 内的,也有不在区间 $j$ 内的.若有 $m$ 个在区间 $j$ 内的,区间 $j$ 的长度为 $L$ ,那么方案数为 ${L+m-1\choose m}$ ,因为 $i$ 必须选.而不在区间 $j$ 内的部分就是个前缀和.
  • 于是大力枚举从 $k$ 转移来,前 $p$ 个人都没选在区间 $j$ 内,用前缀和优化一下转移就好了.
  • 时间复杂度 $O(n^3)$ .
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const int P=1e9+7;
inline int add(int a,int b)
{
	return (a + b) % P;
}
inline int mul(int a,int b)
{
	return 1LL * a * b % P;
}
const int MAXN=500+10;
int n,a[MAXN],b[MAXN],num[MAXN<<1],tot,g[MAXN],C[MAXN],inv[MAXN];
void pre_inv()
{
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)
		inv[i]=1LL*(P-P/i)*inv[P%i]%P;
}
int main()
{
	n=read();
	pre_inv();
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		a[i]=read();
		b[i]=read();
		num[++tot]=a[i];
		num[++tot]=b[i]+1;
	}
	sort(num+1,num+1+tot);
	tot=unique(num+1,num+1+tot)-num-1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		a[i]=lower_bound(num+1,num+1+tot,a[i])-num;
		b[i]=lower_bound(num+1,num+1+tot,b[i]+1)-num;
	}
	C[0]=1;
	g[0]=1;
	for(int j=1;j<tot;++j)
	{
		int len=num[j+1]-num[j];
		for(int i=1;i<=n;++i)
			C[i]=mul(mul(C[i-1],len+i-1),inv[i]);
		for(int i=n;i>=1;--i)
		{
			if(a[i]>j || b[i]<j+1)
				continue;
			int f=0,m=1,c=len;
			for(int p=i-1;p>=0;--p)
			{
				f=add(f,mul(c,g[p]));
				if(a[p]<=j && j+1<=b[p])
					c=C[++m];
			}
			g[i]=add(g[i],f);
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		ans=add(ans,g[i]);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}