bzoj 4805 欧拉函数求和

Posted on | Views:

练习了min_25筛.跑得挺快的.

  • 注意将所有数都当成质数时, $f(x)=x-1$ ,但它并不是个完全积性函数.
  • 所以要拆成 $f(x)=1,g(x)=x$ 两个函数分别预处理,然后相减.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int out=0,fh=1;
    char jp=getchar();
    while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
        jp=getchar();
    if (jp=='-')
        fh=-1,jp=getchar();
    while (jp>='0'&&jp<='9')
        out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
    return out*fh;
}
const int MAXN=1e5+10;
int cnt=0,prime[MAXN],ism[MAXN];
ll sumphi[MAXN];
void init_prime(int n)
{
    ism[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!ism[i])
            prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt && i*prime[j]<=n;++j)
        {
            ism[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
                break;
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;++i)
        sumphi[i]=sumphi[i-1]+prime[i]-1;
}
ll calcsum(int x)
{
    return 1LL*(2+x)*(x-1)/2;
}
int tot=0,w[MAXN],id1[MAXN],id2[MAXN];
ll f[MAXN],g[MAXN];
int N,sqN;
ll S(int n,int j)
{
    if(n<=1 || prime[j]>n)
        return 0;
    int id=n;
    if(id<=sqN)
        id=id1[id];
    else
        id=id2[N/id];
    ll res=g[id]-sumphi[j-1];
    for(int k=j;k<=cnt && 1LL*prime[k]*prime[k]<=n;++k)
    {
        ll pw1=prime[k],pw2=prime[k]*prime[k];
        for(int e=1;pw2<=n;++e)
        {
            ll tmp=pw1/prime[k]*(prime[k]-1);
            tmp*=S(n/pw1,k+1);
            tmp+=pw2/prime[k]*(prime[k]-1);
            res+=tmp;
            pw1*=prime[k],pw2*=prime[k];
        }
    }
    return res;
}
int main()
{
    N=read();
    sqN=(sqrt(N));
    init_prime(sqN);
    for(int l=1,r;l<=N;l=r+1)
    {
        r=N/(N/l);
        w[++tot]=N/l;
        if(N/l<=sqN)
            id1[N/l]=tot;
        else
            id2[N/(N/l)]=tot;
    }
    for(int i=1;i<=tot;++i)
        f[i]=w[i]-1,g[i]=calcsum(w[i]);
    for(int j=1;j<=cnt;++j)
        for(int i=1;i<=tot && prime[j]*prime[j]<=w[i];++i)
        {
            int k=w[i]/prime[j];
            if(k<=sqN)
                k=id1[k];
            else
                k=id2[N/k];
            g[i]-=1LL*(prime[j])*(g[k]-sumphi[j-1]-j+1);
            f[i]-=f[k]-j+1;
        }
    for(int i=1;i<=tot;++i)
        g[i]-=f[i];
    ll ans=S(N,1)+1;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}