bzoj 4665 小w的喜糖

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容斥 + $dp$ .

  • 要求有重复元素的错排方案数.
  • 设 $f(i,j)$ 表示考虑前 $i$ 种糖,钦定 $j$ 个人拿到原来的糖,其他 $(n-j)$ 个人乱拿的方案数.
  • $cnt_x$ 表示第 $x$ 种糖的数目.
  • 枚举第 $i$ 种糖被 $k$ 个原来的人拿到,有 $f(i,j)=\sum_{k\leq j,k\leq cnt_i} f(i-1,j-k)\times {cnt_i \choose k}\times [(cnt_i-k)!]^{-1}$ .
  • 最终答案为 $ans=\sum_{i=0}^n (-1)^i \times f(n,i) \times (n-i)!$ .
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const int P=1e9+9;
inline int add(int a,int b)
{
	return (a + b) % P;	
} 
inline int mul(int a,int b)
{
	return 1LL * a * b % P;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			res=mul(res,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int inv(int x)
{
	return fpow(x,P-2);
}
const int MAXN=2019;
int n,cnt[MAXN],fac[MAXN],invfac[MAXN];
int ans=0,f[MAXN][MAXN];
void init()
{
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	invfac[n]=inv(fac[n]);
	for(int i=n-1;i>=0;--i)
		invfac[i]=mul(invfac[i+1],i+1);
}
int C(int M,int N)// M \choose N
{
	if(M<0 || N<0 || M<N)
		return 0;
	return mul(fac[M],mul(invfac[M-N],invfac[N]));
}
int main()
{
	n=read();
	init();
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		int x=read();
		++cnt[x];
	}
	f[0][0]=1;
	int sum=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		sum+=cnt[i];
		for(int j=0;j<=sum;++j)
			for(int k=0;k<=cnt[i] && k<=j;++k)
			{
				int tmp=mul(f[i-1][j-k],C(cnt[i],k));
				tmp=mul(tmp,invfac[cnt[i]-k]);
				f[i][j]=add(f[i][j],tmp);
			}
	}
	for(int i=0;i<=n;++i)
	{
		int tmp=(i&1)?(-1):(1);
		tmp=mul(tmp,f[n][i]);
		tmp=mul(tmp,fac[n-i]);
		ans=add(ans,tmp);
	}
	cout<<add(ans,P)<<endl;
	return 0;
}