bzoj 4773 负环

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$floyd$ + 倍增.

  • 写保卫王国那道题的时候学习了 Min-plus matrix multiplication ,即将矩阵乘法中的乘法换成加法,加法换成取 $\min$ .这东西还有其他的用法.若一个图的邻接矩阵的 $k$ 次方为 $A$ (在这样运算下), 则 $A_{i,j}$ 表示图中从 $i$ 到 $j$ ,经过 $k$ 条边的最短路长度.
  • 为啥?因为这样运算其实就是 $floyd$ 的转移,只不过恰好也满足了结合律.
  • 要找最短的负环,可以设 $f[k]$ 为原邻接矩阵的 $2^k$ 次方,倍增解决即可,环的大小即为边的数目.
  • 时间复杂度 $O(n^3logn)$ .
  • 注意要将邻接矩阵中自己到自己的距离设为 $0$ ,这样答案才满足单调性.

也可以直接二分答案,时间复杂度为 $O(n^3log^2n)$ ,但对于 $n\leq 300$ 来说差异不大.

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const int inf=1e9;
const int MAXN=300+10;
int n,m;
struct Matrix
{
	int A[MAXN][MAXN];
	Matrix(){memset(A,63,sizeof A);}
	Matrix operator * (const Matrix &rhs) const
	{
		Matrix res;
		for(int k=1;k<=n;++k)
			for(int i=1;i<=n;++i)
				for(int j=1;j<=n;++j)
					res.A[i][j]=min(res.A[i][j],A[i][k]+rhs.A[k][j]);
		return res;
	}
}f[10],cur,nx;
int Log[MAXN];
int main()
{
	Log[1]=0;
	for(int i=2;i<MAXN;++i)
		Log[i]=Log[i>>1]+1;
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int u=read(),v=read(),w=read();
		f[0].A[u][v]=w;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		cur.A[i][i]=f[0].A[i][i]=0;
	int mx=Log[n];
	for(int i=1;i<=mx;++i)
		f[i]=f[i-1]*f[i-1];
	int ans=0;
	for(int i=mx;i>=0;--i)
	{
		bool flag=false;
		nx=f[i]*cur;
		for(int j=1;j<=n && !flag;++j)
			if(nx.A[j][j]<0)
				flag=true;
		if(!flag)
			ans+=1<<i,cur=nx;
	}
	printf("%d",ans+1>n?0:ans+1);
	return 0;
}